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\newtheorem{defn}{Definizione}[section]
\newtheorem{thm}{Teorema}[section]
\newtheorem{prop}{Proposizione}[section]
\newtheorem{lem}{Lemma}[section]
\newtheorem{corol}{Corollario}[section]
\newtheorem{esm}{Esempio}[section]
 

\title[Potenze di Wick]{Potenze di Wick e Quantizzazione Stocastica}
\author{Massimo Secci}
\institute{Università di Padova}
\date{\today}

\begin{document}
\LARGE
\begin{frame}
    \maketitle
\end{frame}
\begin{frame}
    \tableofcontents
\end{frame}

\section{Introduzione}
\begin{frame}
    \begin{itemize}
            \setlength{\itemsep}{10pt}
        \item Teoria Quantistica dei Campi
            \begin{itemize}
                \item Meccanica Quantistica
                \item Relativit\`a Ristretta
            \end{itemize}
        \item Analisi stocastica
            \begin{itemize}
                \item V.A. su Spazi Infinito Dimenzionali
                \item Equazioni Differenziali Stocastiche
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{itemize}
            \setlength{\itemsep}{10pt}
        \item Moto Browniano
            \begin{itemize}
                \item Nucleare
                \item Cilindrico
            \end{itemize}
        \item Integrale Stocastico
            \begin{itemize}
                \item Rispetto al MB Nucleare
                \item Rispetto al MB Cilindrico
            \end{itemize}
        \item Equazioni Differenziali Stocastiche
            \begin{itemize}
                \item Equazioni Lineari
                \item Convoluzione Stocastica
                \item Termini Non Lineari
            \end{itemize}
        \item Le potenze di Wick
            \begin{itemize}
                \item Uno Spazio Allargato
                \item Struttura di Ortogonalit\`a
                \item Definizione di Potenza di Wick
                \item Convergenze
                \item Potenza di Binomio
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}
\normalsize
\section{Moto Browniano e Integrale Stocastico}
\begin{frame}{Il Moto Browniano Nucleare}     
    Una possibile definizione di Moto Browniano su uno spazio di Hilbert
    separabile $H$ è
 \begin{defn}
    Sia $Q$ un operatore su $H$ simmetrico, definito positivo e con traccia finita, allora
    un processo $W_Q : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \times \left[ 0 , +
    \infty \right[ \rightarrow H$ si dice \emph{$Q$-Moto Browniano Nucleare}
    se:
    \begin{enumerate}[i)]
        \item $W_Q(0) = 0$ $\mathbb{P}$-q.c.,
        \item $W_Q$ ha traiettorie continue $\mathbb{P}$-q.c.,
        \item $W_Q$ ha incrementi indipendenti,
        \item gli incrementi hanno legge $(W_Q(t) - W_Q(s)) \sim \mathcal{N}(0 ,
            (t-s)Q)$.
    \end{enumerate}
\end{defn}
\end{frame}

\begin{frame}{Proprietà del MB nucleare}
Se $Q$ è diagonale si dimostra che
 \begin{prop}
Il Moto Browniano nucleare $W_Q$ si può esprimere come
    \begin{equation*}
        W(t) = \sum_{n \in \N} \sqrt{\lambda_n} W_n(t) e_n,
    \end{equation*}
    dove i
    \begin{equation*}
        W_n = \frac{1}{\sqrt{\lambda_n}} \left< W(t), e_n \right>
    \end{equation*}
    sono Moti Browniani reali tra loro indipendenti, inoltre tale serie
    converge in $L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}; H)$. 
\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}{Costruzione dell'Integrale Stocastico w.r.t. MB nucleare}
    La costruzione dell'Integrale Stocastico rispetto al Moto Browniano nucleare segue gli
    stessi passi di quella nel caso reale:
    \begin{itemize}
        \item si definisce la classe dei processi semplici,
        \item si definisce l'integrale stocastico su tali processi che si dimostra essere
            un'isometria
        \item si estende l'isometria per definire l'integrale stocastico su
            tutto lo spazio
 \begin{equation*}
    \mathcal{P}_Q^2\left( \left[ a,b \right] \right) = \left\{ X \in
    L^2\left( \left[ a , b \right] \times \Omega, \mathcal{P}; \l\left( H
    \right)\right) : \| X \|_{\mathcal{P}_Q^2}^2 < + \infty
    \right\},
\end{equation*} 
dove
 \begin{equation*}
     \| X \|_{\mathcal{P}_Q^2}^2 : = \int_a^b \E \left[ \| Q^{1/2} X\left( t
    \right)\|_{HS}^2 \right]dt.
\end{equation*} 
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Integrale Stocastico rispetto al MB nucleare}
    Il risultato finale è 
     \begin{thm}
    Siano $W_Q$ un Moto Browniano nucleare e $X \in \mathcal{P}_Q^2 
    \left( \left[ a,b \right] \right)$. Allora è definito 
    l'integrale stocastico $\int_a^b X \, dW_Q$ e soddisfa le seguenti proprietà
    \begin{equation*}
        \E \left[ \int_a^b X \, dW_Q \right] = 0,
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \E \left[ \left|
        \int_a^b X \, dW_Q \right| ^ 2 \right] = \| X
        \|_{\mathcal{P}_Q^2}^2. 
    \end{equation*}
\end{thm}   
\end{frame}

\begin{frame}{Moto Browniano cilindrico}
    Nel caso del MB cilindrico non si richiede $\trace(Q) < +\infty$.
 \begin{defn}
    Sia $Q$ un operatore lineare e diagonale di $H$ in sé. Allora si
    definisce Moto Browniano cilindrico un oggetto del tipo
    \begin{equation*}
        W_Q (t) : = \sum_{n \in \N} \sqrt{\lambda_n} W_n(t) e_n,
    \end{equation*}
    dove $Q= \diag(\lambda_n)$.
    Nel caso particolare in cui $Q=I$, il processo prende il nome di
    \emph{rumore bianco} e verrà indicato con $W$.
\end{defn}
Tale oggetto non è ben definito, ma è comunque possibile definire un
integrale stocastico rispetto ad esso come limite di integrali nucleari
rispetto a ai MB $W_{Q_N}$, dove
 \begin{equation*}
    Q_N = \diag(\lambda_1, \dots , \lambda_N, 0, 0, \dots).
\end{equation*} 
\end{frame}

\section{Equazioni Differenziali Stocastiche}
\begin{frame}{SDE e Convoluzione Stocastica}
Le equazioni differenziali stocastiche lineari
 \begin{equation*}
    \left\{
    \begin{array}{l}
        dX = A X(t)\, dt + dW_Q(t), \\
        W(0)=\varphi \in H,
    \end{array}
    \right.
\end{equation*} 
con $A: D(A)\subset H \rightarrow H$ lineare e $W_Q$ nucleare o cilindrico, hanno per soluzione
 \begin{equation*} 
     X(t) = e^{tA}\varphi + \underbrace{\int_0^t e^{(t-s)A}\,
     dW_Q(s)}_{\text{Convoluzione Stocastica}}.
\end{equation*}
Nel caso in cui $A$ sia diagonale rispetto alla stessa base ortonormale
$(e_n)_{n\in \N}$ per cui lo è $Q$ e abbia autovalori negativi e divergenti
($A e_n = -\sigma_n e_n$, $0 < \sigma_n \rightarrow + \infty$), la convoluzione stocastica è ben definita quando
 \begin{equation*}
    \sum_{n \in \N} \frac{\lambda_n}{\sigma_n} < + \infty.
\end{equation*} 
\end{frame}

\begin{frame}{L'equazione del Campo Libero}
    L'equazione del campo libero è un'equazione differenziale stocastica
    lineare della forma
     \begin{equation*}
        dX\left( t  \right) = \left( \Delta - I \right) X\left( t 
        \right) \,dt + dW\left( t  \right), \quad X\left( t  \right) \in H=
        L^2 (\left[ 0 , 2\pi\right]^d).
\end{equation*}
La basi di autovalori di $\Delta-I$ in $H$ è
 \begin{equation*}
    \left( e_k = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} e^{i k \cdot x} \right)_{k \in
    \Z^d} \text{ e si ha}      \left( \Delta - I \right) e_k = -\left( 1 + |k|^2 \right) e_n, 
\end{equation*} 
con $|k|^2 = k_1^2 + k_2^2 + \dots + k_d^2$. Affinch\'e la convoluzione
stocastica sia definita, si deve avere
\begin{equation*}
    \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \sum_{n \in \N^d}\frac{1}{1 + |n|^2} < +\infty
    \Leftrightarrow     \int_0^{+ \infty}\frac{r^{d-1}}{1 + r^2}dr < +
    \infty \Leftrightarrow d<2. 
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Gli spazi $H^{-s}$}
    Per evitare l'ostacolo imposto dalla convoluzione stocastica si può
    ricorrere agli spazi di Hilbert 
      \begin{equation*}
    H^s = \{ \varphi = \left( \varphi_k \right)_{k \in \Z^d} \subset
    \C^{\Z^2}: \sum_{k \in \Z^d}\left( 1 + |k|^2 \right) ^s |\varphi_k|^2 <
    + \infty \}, \quad (s \in \R).
\end{equation*} 
con base ortonormale
 \begin{equation*}
     e_k' = \frac{1}{\left( 1 + |k|^2\right)^{s/2}} e_k, \quad k \in \Z^d.
\end{equation*}
In questi spazi il rumore bianco diventa
 \begin{equation*}
    W(t) = \sum_k W_k(t) e_k = \sum_k (1 + |k|^2)^{s/2} W_k (t) e_k' = :
    W_{Q_s}(t) 
\end{equation*} 
e la convoluzione stocastica è ben definita se
 \begin{equation*}
    \sum_{k \in \Z^d}
    (2\pi)^{d/2} \frac{\left( 1 + |k|^2 \right)^{s/2}}{1 + |k|^2}  <
    +\infty \Longleftrightarrow s < 2 - d.
\end{equation*} 
\end{frame}

\section{Le potenze di Wick}
\subsection{Definizione}
\begin{frame}{Motivazioni}
    \Large
    \begin{center}
    L'\emph{equazione del campo interagente}:
     \begin{equation*}
    dX = \left[ \left( \Delta - I \right) X\left( t , x \right) + p\left(
    X\left( t , x \right) \right) \right]\, dt + dW\left( t , x \right)
\end{equation*}
\end{center}
\end{frame}
\normalsize
\begin{frame}{Lo spazio $\h$}
    \begin{center}
        Notazioni:
        \begin{multicols}{2}
        \begin{itemize}
            \item $\o = [0,2\pi]^2$,
            \item $H = L^2(\o;\R)$,
            \item $e_k(\xi) = \frac{1}{2\pi} e^{i \, k \cdot
                \xi}$, \footnotesize 
                 $\xi\in\o,\, k\in \Z^2$, \normalsize
            \item $x_k = \left< x , e_k \right>$, $x \in H$.
        \end{itemize}
    \end{multicols}
    \end{center}

    Verranno considerati:
\footnotesize
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item {\normalsize lo spazio allargato}
    \begin{equation*}
    \h = \bigotimes_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \C_k, \text{ dove } \C_k=\C,
\end{equation*}
\item {\normalsize l'operatore $C: H \rightarrow H$}
\begin{equation*}
    \text{ tale che } C e_k = \frac{1}{1+|k|^2} e_k, k \in \Z^2.
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{multicols}
\normalsize

$\h$ sarà dotato della misura
 \begin{equation*}
    \mu = \bigotimes_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \mu_k = \bigotimes_{k \in
    \Z^2/(-1,-1)} \n\left(0 , \frac{1}{1 + |k|^2}\right).
\end{equation*}
 \begin{prop} 
    $\mu(H^{-s})=1$ per ogni $s>0$.
\end{prop}
\end{frame}

\begin{frame}{Le funzioni $W_z$}
\begin{defn}
    Sia $z \in H_0$. Si definisce la variabile aleatoria $W_z$ su $\h$ come
    \begin{equation*}
        W_z\left( \varphi \right) = \left< \varphi, C^{-1/2} z \right> =
        \sum_{k \in \N^2} \sqrt{1 + |k|^2} \varphi_k \overline{ z_k }, \quad
        \varphi \in \h.
    \end{equation*}
\end{defn}
\begin{prop} 
    Siano $z,\,z' \in H_0$, allora
    \begin{equation*}
        \left< W_z , W_{z'} \right> = \int_{\h} W_z\left( \varphi \right)
        W_{z'}\left( \varphi \right) \mu\left( d\varphi \right) =
        \left< z, z' \right>.
    \end{equation*}
\end{prop}
\begin{prop}
    Sia $z \in H$. Allora è definito $W_z$ ed è una variabile aleatoria Gaussiana reale di
    media nulla e varianza $|z|^2$.
\end{prop}        
\end{frame}

\begin{frame}{ Un sistema ortonormale in $L^2(\h,\mu)$}
\begin{itemize}
    \item Polinomi di Hermite: $$e^{-\frac{t^2}{2}+ t \xi} = \sum_{n \in \N}
        \frac{t^n}{n!} H_n(\xi),\text{ con } t , \xi \in \R,$$
    \item Sia $\Gamma$ l'insieme delle funzioni
        \begin{align*}
                \gamma : \Z^2/(-1,-1) &\longrightarrow \N \\
                k &\mapsto \gamma_k
            \end{align*}
        tali che $|\gamma| := \sum_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \gamma_k < +\infty,$
    \item Si definisca
\begin{equation*}
    H_\gamma (\varphi) = \prod_{k \in \Z^2/(-1,-1)} \frac{1}{\sqrt{\gamma_k !}} H_{\gamma_k} \left(
    W_{e_k}(\varphi) \right)
\end{equation*}
\end{itemize}
\begin{thm} 
    $(H_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}$ è un sistema ortonormale e completo in
    $L^2(\h, \mu)$.
\end{thm}
\end{frame}

\begin{frame}{Decomposizione di It\^o-Wiener}
    \begin{defn}
\begin{equation*}
    L^2_n := \cl \left\{ H_n \left( W_f \right) : \, f \in H, |f| = 1 \right\}.
\end{equation*}
\end{defn}
\begin{prop}
    Per ogni $n \in \N$ lo spazio $L^2_n(\h,\mu)$ coincide con la chiusura
    del sottospazio generato da
    \begin{equation*}
        V_n := \left\{ H_\gamma : \, |\gamma| = n \right\}.
    \end{equation*}
\end{prop}
 \begin{equation*}
    L^2(\h, \mu) = \bigoplus_{n=0}^{\infty} L^2_n(\h, \mu).
\end{equation*} 
\end{frame}

\begin{frame}{Definizione}
Sia $\Pi_n: L^2(\h,\mu) \rightarrow L^2(\h,\mu)$ la proiezione ortogonale su
$L^2_n(\h,\mu)$.
\begin{thm} 
    Sia $f \in H$ tale che $|f| = 1$ e sia $n \in \N$. Allora
    \begin{equation*}
        \Pi_n (W_f^n) = H_n(W_f).
    \end{equation*}
\end{thm}
Dato $\varphi\in \h$ si pone $\varphi_N\left( \xi \right) = \sum_{ |k| \leq N} \left<
    \varphi, e_k \right> e_k\left( \xi \right)$.
\small
\begin{equation*}
    \eta_N (\xi) = \frac{1}{\rho_N} \sum_{|k| \leq N}
    \frac{\overline{e_k(\xi)}}{\sqrt{1 + |k|^2}} e_k, \text{ dove }
    \rho_N = \left\|\sum_{|k| \leq N}
    \frac{\overline{e_k(\xi)}}{\sqrt{1 + |k|^2}} e_k \right\|
\end{equation*}
\normalsize
\begin{equation*}
    \varphi_N (\xi) = \rho_N W_{\eta_n(\xi)}\left( \varphi \right)
\end{equation*}
\begin{defn}
    Si definisce potenza $n$-esima rinormalizzata di $\varphi_N(\xi)$ la
    proiezione della sua potenza $n$-esima su $L^2_n(\h,\mu)$. Inoltre
    \begin{equation*}
        \:\varphi_N^n(\xi)\: = \Pi_n(\varphi_N^n(\xi)) = \rho_N^n
        H_n(W_{\eta_N(\xi)}).
    \end{equation*}
\end{defn}
\end{frame}

\subsection{Convergenze}
\begin{frame}{Convergenza Debole}
\begin{equation*}
    \gamma_N = \sum_{|k| \leq N} \frac{1}{1 + |k|^2} e_k, \quad N \in \N,
    \qquad \gamma = \sum_{k \in \Z^2} \frac{1}{1 + |k|^2} e_k
\end{equation*}
\small
\begin{prop} 
    Per ogni $p \geq 2$, sia $q$ il suo esponente coniugato. Allora
    \begin{equation*}
        \|\gamma\|_{L^p(\o)} \leq \left[ \sum_{k \in \Z^2} \left( \frac{1}{1 + |k|^2}
        \right)^{\frac{p}{p-1}} \right]^{\frac{p-1}{p}}.
    \end{equation*}
\end{prop}
\begin{thm} \label{3p5}
    Siano $M > N$ e $x \in H$. Allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} |\left< \: \varphi_M^n \: - \:\varphi_N^n \:, x \right>|^2
        \mu(d\varphi) = \left< (\gamma_M -\gamma_N) * x , x \right>
    \end{equation*}
    tende a zero per $N \rightarrow \infty$.
    Quindi il limite $\left< \: \varphi^n \: , x \right> := \lim_{N \rightarrow \infty}
        \left< \: \varphi_N^n \: , x \right>$ esiste in $L^2(\h,\mu)$.
\end{thm}
\end{frame}

\begin{frame}{Convergenze in $L^2(\h,\mu;H)$}
\begin{prop}
    Sia $n \in \N$, $n \geq 1$. Allora $\: \varphi^n \:$ non appartiene a
    $L^2(\h,\mu;H)$.
\end{prop}
\begin{prop} 
    Siano $M > N$ e $\varepsilon > 1/2$. Allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} |C^\varepsilon \: \varphi_M^n \: - C^\varepsilon \:
        \varphi_N^n \: |^2 \mu(d\varphi) \xrightarrow{M,N \rightarrow
        \infty} 0,
    \end{equation*}
    quindi la successione $C^\varepsilon \: \varphi_N^n \:$ è di Cauchy in
    $L^2(\h,\mu; H)$ e ivi converge al limite $C^\varepsilon \: \varphi^n\:$.
\end{prop}
\end{frame}
\begin{frame}{Convergenza in $L^2(\h,\mu;H^{-s})$} 
    \begin{thm}
    Siano $M > N$ e $s > 1$, allora
    \begin{equation*}
        \int_{\h} \left| \: \varphi_M^n \: - \:\varphi_N^n\: \right|_{-s} \mu
        (d\varphi) \xrightarrow{M,N \rightarrow \infty} 0.
    \end{equation*}
    Quindi la successione $\: \varphi_N^n \:$ è di Cauchy, quindi
    convergente, in $L^2(\h,\mu; H^{-s})$.
\end{thm}
\end{frame}
\subsection{Potenza di Binomio}
\begin{frame}{Potenza di Binomio}
\begin{prop}
    Siano $\varphi, \psi \in \h$, $n, N \in \N$ e $\xi \in \o$. Allora
    \begin{equation*}
        \: \left( \varphi_N (\xi) + \psi_N (\xi) \right)^n\: =
        \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \: \left( 2 \varphi_N
        (\xi)\right)^j \: \: \left( 2 \psi_N(\xi) \right)^{n - j} \:
    \end{equation*}
\end{prop}
\small
\begin{itemize}
    \item Convergenza in $L^2(\h,\mu;H^{-s}) \Rightarrow$ convergenza
        $\mu$-q.o.
    \item estrazione di un numero finito di sotto-successioni,
    \item tutte le prime $n$ potenze convergono su uno stesso
        $\mathcal{A}\subset \h$, $\mu(\mathcal{A})=1$, 
    \item $\left\{ (\varphi,\psi) \in \h\times\h : \varphi + \psi
        \notin \mathcal{A} \right\}$ ha misura nulla.
\end{itemize}
\normalsize
\begin{thm}
    Sia $n \in \N$ e siano, $\varphi, \psi \in \h$, allora
    \begin{equation*}
        \: \left( \varphi + \psi \right)^n :\ = \frac{1}{2^n} \sum_{j=0}^n
        \binom{n}{j} \: \left( 2 \varphi \right)^j \: \: \left( 2 \psi
        \right)^{n - j} \: \quad \mu\otimes\mu-\text{q.c.}
    \end{equation*}
\end{thm}
\end{frame}
\end{document}

